Naja, bei so Aufgaben sind die Nullstellen meist sehr trivial gewählt. Da reicht meistens wirklich {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} oder so probieren aus. Direkt sehen kann man es meist nicht. Aber es ist fast immer was sehr simples.

Zu Polynomdivision schau z.B. mal hier:
frustfrei-lernen.de/mathematik/polynomdivision.html

Wenn du Probleme mit Polynomdivision bzw. allgemein mit schriftlicher Division hast von wegen Übersichtlichkeit, kannst du auch nach Hornerschema verfahren, das schon relativ anschaulicher ist. Hab aber leider vergessen, wie's geht, wir hatten's nur kurz angesprochen und ich hab mich zu sehr an Polynomdivision gewöhnt. Kannst ja im Zweifel danach suchen (bin grad selbst zu faul, entsprechende Literatur zu ergooglen, sorry).

Übrigens, wenn die Überschrift "Berechnen von Extrempunkten" heißt, kann man wohl auch annehmen, dass es auch darum gehen wird (bzw halt über Analysis allgemein). Wie man die über Differenzierung/Ableitung rauskriegt, weißt du, oder?

Ach, die Ableitungen zuzuordnen, ist keine große Sache. Wirst das sicher schon wissen, ich will's dir und jedem weiteren, der Probleme hat und nach dem Thread hier sucht, mal trotzdem nochmal darstellen:

Erste Ableitung f'(x) - stellt die lokale Steigung bzw. Änderungsrate an einer Stelle x dar. Ist eine Steigung von 0 an einer Stelle vorhanden (f'(x) = 0, also die Nullstelle/n an f'(x)), ist ein Extrempunkt vorhanden: wenn man sich den Graphen einer Funktion f(x) ansieht, sieht man, dass es an Hoch- und Tiefpunkten keine Steigung gibt. Suchst du die Stelle x mit der Steigung m bzw. die Steigung m an der Stelle x (besonders für Tangentenberechnung), dient hier ebenfalls f'(x).

Zweite Ableitung f''(x) - beschreibt das Krümmungsverhalten, oder: die Änderungsrate der Änderungsrate (sowas wie Beschleunigung in der Physik z.B.). die Nullstellen von f''(x) geben Auskunft über die Wendepunkte, also Punkte, wo ein Steigungsextrem ist und sich das Krümmungsverhalten ändert. Auch stellt man mit ihr fest, ob ein Extrem, das man errechnet hat, ein Hoch- oder Tiefpunkt ist: ist f''(x) > 0, ist's ein Tiefpunkt, für f''(x) < 0 ein Hochpunkt, für f''(x) = 0 ein Sattelpunkt.

Dritte Ableitung f'''(x) - An sich nicht wichtig, aber mit ihr stellt man fest, ob ein Wendepunkt, den man errechnet hat, auch wirklich ein Wendepunkt ist, denn wenn f''(x) = 0 ist, dann darf f'''(x) nicht 0 ergeben.

Und die einzelnen Abläufe in Kurzform nochmal:

Nullstellenberechnung:
- f(x) mit 0 gleichsetzen
- x0 über Ausklammerung von x, p-q-Formel (oder ähnliches, was du vielleicht gelernt haben könntest), Polynomdivision/Hornerschema und/oder Biquadratische Ersetzung/Substitution errechnen

Extremwertberechnung:
- Die Ableitung f'(x) aus f(x) bilden
- f'(x) mit 0 gleichsetzen
- xE über Ausklammerung, p-q-Formel, Polynomdivision/Hornerschema und/oder Biquadratische Ersetzung/Substitution errechnen
- xE in f(x) einsetzen, um den Extrempunkt E (xE | f(xE)) zu erhalten
- Die Ableitung f''(x) aus f'(x) bilden
- xE in f''(x) einsetzen
- Vorzeichen betrachten: ist f''(xE) positiv, ist der Punkt E ein Tiefpunkt T (xE | f(xE)); ist f''(xE) negativ, ist der Punkt E ein Hochpunkt H (xE | f(xE)); ist f''(xE) gleich 0, ist der Punkt E ein Sattelpunkt S (xE | f(xE))

Wendepunktberechnung:
- Die Ableitung f''(x) bilden (oder einfach wiederverwenden)
- f''(x) mit 0 gleichsetzen
- xW mit den bereits genannten Methoden errechnen (oder, falls du 'nen Polynom dritten Grades hast, einfach stinknormal über Umstellung)
- xW in f(x) einsetzen, um den Punkt W (xW | f(xW)) zu erhalten
- Vergleichen: ist f'''(xW) nicht gleich 0, dann ist der Punkt W (xW | f(xW)) auch richtig.

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Zu deiner letzten Frage: ja, musst du. Aber wie Han bereits sagte, sind die Nullstellen der Polynome, die man so in Schulaufgaben kriegt, so konstruiert, dass mind. eine Nullstelle eine ganze Zahl zwischen -3 und 3 ist, also alles kein Problem.