Zu Punkt eins, er hat ausgeklammert.
Und zu zwei, damit der gesamte Ausdruck Null wird muss wenigstens ein Teil des Produktes Null werden.

Also a*b=0, damit das gilt muss entweder a oder b oder beides Null sein. Das gilt wenn x=0, weil Null hoch 2 Null ist, und wenn x=2, weil 2 minus 2 Null ist.

Das Ausklammern geht wie folgt:
Der Grundterm ist also x³-2x², hier kann man jeweils ein x "rausholen".
Raus käme also, wie schon geschrieben, x²*(x-2).
Hierbei wurden die beiden Summanden aus dem Ausgangsterm mit x² dividiert. Übrig bleibt dann x-2. Da aber x-2 =/= x³-2x² ist, muss man den entstandenen Term noch mit dem Dividenden (oder war's der Divisor?), also x², multiplizieren. Man sucht also einen gemeinsamen Faktor der Summanden.
Der so entstandene Term ist die Nullpunktform, also muss der Funktionsterm zu einer Parabel gehören (zwei Lösungen). In dieser Form lassen sich die Nullstellen ganz einfach ermitteln, indem man sieht, bei welchem x jeweils 0 rauskommt, da es zwei Faktoren gibt. Und wenn ein Faktor 0 ist, ist der ganze Term gleich 0. Das gilt bei diesem Term dann sowohl für 0 als auch für 2.

Bei den Übungsaufgaben käme dann raus:
1. f(x) = x*(x²-2x+1), wobei dann noch der Term in der Klammer "verklammert" werden kann.
--> f(x) = x*(x*(x-2)+1)
also: x1 = 0; x2 = 1

2. f(x) = x*(1+5x²+6x), wieder kann nochmal ausgeklammert werden.
--> x*(1+x*(5x+6))
x1 = 0; x2 = -1

Ich hoffe, ich hab's verständlich erklärt^^

Aus x³ kann man zwar dreimal x rausholen, aber aus x² geht das nicht.
Man könnte natürlich auch schreiben: x³*(1-2/x), aber das macht die Sache nur komplizierter und bringt im Endeffekt nichts.

Zur ersten Frage:
Man setzt den Term in eine Gleichung mit 0:
x²*(x-2)=0 und sucht dann die Lösungen. Da gibt es dann die Lösungen 0 und 2.

2. Das sähe dann so aus:
f(x) = x²*(x²+5x+6)
Dann kann man nochmal ausklammern:
x²*(x*(x+5)+6)
x1 = 0; x2 = -3

Ausklammern ist nichts weiter als das rückwärts angewandte Distributivgesetz.
(Zur Erinnerung: a * (b + c) = a * b + a * c)

Bei x³-2x² hat man ausgeschrieben x * x * x - 2 * x * x. Beide Teile haben jeweils ein x darin, also kann man dieses ausklammern:
x * (x * x - 2 * x)
In der Klammer ist wieder auf beiden Seiten etwas gleich, und zwar ein weiteres x. Auch das wird ausgeklammert:
x * x * (x - 2)
Die beiden ausgeklammerten x fasst man dann der Einfachheit halber wieder zu x² zusammen:
x² * (x - 2)

Weiterhin noch eine Anmerkung zu meinen Vorrednern bei Aufgabe 1:

f(x)=x³-2x²+x
ausgeschrieben
f(x) = x * x * x - 2 * x * x + x
In allen Teilen ein x, also ausklammern:
f(x) = x * (x * x - 2 * x + 1) Die 1 kommt hierhin, weil ein einzelnes x als 1 * x zu sehen ist
Der Term innerhalb der Klammer sollte dem einen oder anderen bekannt vorkommen, Stichwort 2. Binomische Formel (Zur Erinnerung: (a - b)² = a² - 2 * a * b + b²)
Also läßt sich das ganze wie folgt schreiben:
f(x) = x * (x - 1) * (x - 1)