Mathe - Die Kugelpyramide

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    • Mathe - Die Kugelpyramide

      Hallo da draußen.

      In Mathe-LK hatten wir ne Aufgabe bekommen, nämlich eine dreiseitige Kugelpyramide, für die man eine Formel aufstellen muss, mit der man die Anzahl a[n] der Kugeln für eine n-stufige Pyramide ausrechnen muss.

      Die Formel für die Berechnung der einzelnen Kugeln in einer Stufe berechnet man mit
      a[n]=(n*n²)/2
      Ich hab lange rumprobiert, bis ich endlich der Lösung näher kam, mit
      a[n]=(n³+n²*(n-2)+x)/2=n²+(x/2); wobei x eine nicht errechenbare Zahl war, nämlich
      x[n]=(n-1)(n-2)+x[n-1]
      Doch weil das auch eine rekursive Formel ist, ging das nicht.
      Dann hab ich mir mal die Quadrate angesehen und festgestellt:
      1 1 1
      2 4 4
      3 10 9 1 1
      4 20 16 4 4
      5 35 25 10 9 1 1
      6 56 36 20 16 4 4
      7 84 49 35 25 10 9 1 1
      8 120 64 56 36 20 16 4 4
      9 165 81 84 49 35 25 10 9 1 1
      10 220 100 120 64 56 36 20 16 4 4

      Also gilt für 1 und 2:
      a[n]=(n-0)²
      für 3 und 4:
      a[n]=(n-0)²+(n-2)²
      für 5 und 6:
      a[n]=(n-0)²+(n-2)²+(n-4)²

      also immer n minus die nächste gerade Zahl darunter und das wiederholt, also
      (n-(n-1,5+0,5*(-1)^(n+1)))²
      +(n-(n-3,5+0,5*(-1)^(n+1))²
      +...
      Nur dafür konnte ich auch keine explizite Formel finden, weil ich ja die Formel für jeden 2er-Schritt wiederholen müsste, also hab ich gegoogelt und fand folgendes:

      Die Formel für eine quadratische Pyramide ist
      a[n]=n(n+1)(2n+1)/6=(2n³+3n²+n)/6
      Die Formel für die Anzahl der Kugeln der nten Stufe ist
      a[n]=(n+n²)/2

      Also summiert man beide Formeln und teilt durch 2:
      a[n]=1/2*{(n+n²)/2+n(n+1)(2n+1)/6}
      =[...]
      =(n³+3n²+2n)/6

      Meine Frage ist jetzt:
      Wie kommt man auf die Annahme, man müsse den Durchschnitt der Anzahl pro Stufe und der quadratischen Pyramide ausrechnen und wie lässt sich das erklären?

    • Ich würde es anders angehen. Wenn wir eine Pyramide der Höhe n haben und uns die Anzahl der k-ten Schicht anschauen wollen, so ist die Formel:

      1+2+3+...+k.

      x 1
      x x 2
      x x x 3
      ... (automatische Einrückung...)

      Eine Allgemeine Formel dafür ist k*(k+1)/2

      Jetzt wollen wir die einzelnen Werte also aufsummieren:

      (SUMME k=1:n)((SUMME i=1:k)(i))

      Die Klammer ((SUMME i=1:k)(i)) können wir, wie erwähnt, mit (k*(k+1)/2)=((k²/2)+(k/2) ersetzen.

      Die Summe spalten wir jetzt auf:

      (SUMME k=1:n)(k²/2) + (SUMME k=1:n)(k/2)

      Da der Nenner unabhängig von k ist, kann man den aus der Summe herausziehen. Wir landen also bei der Formel:

      (1/2)*(SUMME k=1:n)(k²) + (1/2)*(SUMME k=1:n)(k)

      Den hinteren Term können wir, wie oben schon erwähnt, durch (1/2)*(n*(n+1)/2) ersetzen.

      Für die erste Summe gibt es auch eine Formel: n*(n+1)*(2n+1)/6 .

      Wir haben also:

      (1/2)*(n*(n+1)*(2n+1)/6 + n*(n+1)/2)

      Jetzt klammern wir noch ein wenig weiter aus:

      (n*(n+1)/4)*((2n+1)/3+1)=(n²/4+n/4)*(2n/3+4/3)

      Nun noch Klammern auflösen und zusammenfassen:

      (1/6)n³+(1/2)n²+(1/3)n

      Die Formeln, die ich da "auf den Tisch gelegt" habe, kann man per Induktion beweisen...

      EDIT: Hab da was nicht weggekürzt. Wir kommen also auf die gleiche Formel. Sollte also stimmen.

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Fuchspower ()

    • Ah, ok, also war es nicht einfach die Formel der nten Stufe plus die Formel für eine quadratische Pyramide durch 2, sondern durch aufsummieren und einsetzen der Formeln.

      Das Coole ist, aufsummieren hatten wir noch nicht.
      Also verstehe ich in deiner Antwort alles bis auf das Aufsummieren
      (SUMME k=1:n)(SUMME i=1:k)(i)

      Aber das wird schon noch kommen.
      Vielen Dank, Fuchs!